显然 $d,\varphi \ne 0$。考虑一次移动中轨迹的斜率 $k=\dfrac{\tan \varphi}{\varphi}$。画图可知，当 $\varphi \in (-\dfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\dfrac{\pi}{2})$ 时，$k \in (1,+\infty)$：

**这里有一张图片。如果你没有看到，请在「下发文件」处获取。**

也就是说，如果直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}>1$ 且存在，那么就可以从 $A$ 一次性移动到 $B$。

很明显，如果我们第一次移动时选择 $d=10^{100},\varphi=\dfrac{\pi}{4}$，那么一次移动后的位置 $X$ 与终点 $Y$ 之间的斜率将会极其接近 $\dfrac{4}{\pi}$，显然可以从 $X$ 一次性移动到 $Y$。整个过程一共移动了 $2$ 次，所以答案总是不超过 $2$。

综上，本题的结论是（设 $P$ 为起点，$Q$ 为终点）：

- $P$ 与 $Q$ 重合时答案为 $0$；
- $k_{PQ}>1$ 且存在时答案为 $1$；
- 以上两个条件都不满足时答案为 $2$。