代入 $x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$，对多项式从第一项开始两两分组，显然每组都是正数。

任取 $-1 < t < \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$，记 $p_n(x) = (1 - x - x^2) g_n(x) = 1 - \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}}{\sqrt{5}} x^{2n} - \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n}}{\sqrt{5}} x^{2n+1} = 1 - x^{2n} \left( \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}}{\sqrt{5}} + \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n}}{\sqrt{5}} x \right)$，在 $x = t$ 的取值下括号内放缩到 $x = -1$ 有 $p_n(t) < 1 - \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-1}}{\sqrt{5}} t^{2n} = 1 - \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}t\right)^{2n-1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}t\right)^{2n-1}}{\sqrt{5}} t$，$n \to +\infty$ 时由 $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}t < -1$ 和 $0 < \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}t < 1$ 可知整个式子趋于 $-\infty$，又由 $0 < 1 - t - t^2 < 1$ 可知 $g_n(t)$ 趋于 $-\infty$。

因此 $n \to +\infty$ 时有 $t \le R \le \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$，故 $R = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$。